물리 1B: 파동, 소리와 광학

단순 조화 운동 — 진동의 기본 단위

단순 조화 운동(SHM)이란, 복원력이 평형 위치로부터의 변위에 정비례하는 모든 주기 운동을 말합니다. 대표적인 예 두 가지가 있습니다. 후크의 법칙(F = −kx)을 따르는 용수철에 매달린 물체, 그리고 작은 각도로 흔들리는 진자가 그것입니다.

CBE에서 반드시 알고 있기를 기대하는 SHM의 핵심 성질은 다음과 같습니다.

• 운동은 한 주기 T 동안 반복되며, 단위는 초입니다.
• 진동수 f = 1/T 는 헤르츠(Hz = 1/s) 단위이며, 초당 몇 번 진동하는지를 나타냅니다.
• 진자의 주기는 오직 길이와 중력에만 의존합니다: T = 2π√(L/g). 질량은 주기에 영향을 주지 않습니다(놀랍지만 사실입니다).
• 진폭(평형에서 얼마나 멀리 벗어나는지)은 주기나 진동수에 영향을 주지 않고, 오직 전체 에너지만 결정합니다.

SHM은 모든 파동의 본질에 자리 잡고 있기 때문에 이해가 선택이 아닌 필수입니다. 횡파든 종파든, 파동이 지나갈 때 매질의 각 입자는 사실상 SHM에 가까운 운동을 합니다.

파동 — 움직이는 에너지

파동은 물질을 함께 이동시키지 않으면서 에너지만을 한 곳에서 다른 곳으로 전달하는 교란입니다. 연못에 돌을 던지면 물결은 바깥쪽으로 퍼지지만, 물 분자는 거의 제자리에서 위아래로 진동할 뿐 물결과 함께 밖으로 흘러가지 않습니다.

파동은 두 가지로 나뉩니다.

• 횡파 — 입자가 파동의 진행 방향에 수직으로 진동합니다. 줄에 만들어지는 파동, 수면의 물결, 그리고 모든 전자기파(빛)가 횡파에 해당합니다.
• 종파 — 입자가 파동의 진행 방향과 나란하게 진동합니다. 공기 중의 음파가 대표적인 종파로, 공기 분자가 소리가 전파되는 방향을 따라 압축과 팽창(희박화)을 반복합니다.

파동의 성질과 기본 방정식

모든 파동은 서로 연결된 네 가지 성질로 기술됩니다.

• 파장(λ) — 서로 대응하는 두 지점 사이의 거리(마루-마루, 또는 압축-압축)입니다. 단위: 미터.
• 진동수(f) — 초당 완전한 진동이 몇 번 일어나는지를 나타냅니다. 단위: 헤르츠(Hz).
• 주기(T) — 한 번의 완전한 진동에 걸리는 시간입니다. T = 1/f.
• 진폭 — 평형 위치로부터의 최대 변위입니다. 파동의 에너지를 결정하지만 속도에는 영향을 주지 않습니다.

이 네 가지 성질은 다음의 기본 방정식으로 이어집니다.

v = λ · f

파동의 속도는 매질에 따라 결정되며, 파원에는 의존하지 않습니다. 20 °C 공기 중 음파는 진동수와 관계없이 약 343 m/s로 전파되며, 음이 더 높으면 파장이 짧을 뿐입니다. 진공 중의 빛은 색과 무관하게 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행하며, 파란빛은 붉은빛보다 파장이 짧을 뿐입니다.

여섯 가지 파동 현상

물리 1B CBE는 여섯 가지 파동 현상을 반복해서 다룹니다. 서술문이나 그림에서 각 현상을 곧바로 알아볼 수 있도록 익혀 두시기 바랍니다.

반사

파동이 경계면에서 되튀는 현상입니다. 반사 법칙에 따르면 입사각과 반사각은 같으며, 각도는 법선(면에 수직한 선)을 기준으로 측정합니다. 거울 상의 형성이 이 법칙에 의해 결정됩니다.

굴절

파동이 다른 매질로 비스듬히 들어갈 때 진행 방향이 꺾이는 현상입니다. 파동의 속도가 달라지기 때문에 굴절이 일어납니다(빛은 유리나 물에서 느려집니다). 다음의 스넬의 법칙이 굴절을 지배합니다.

n₁ · sin θ₁ = n₂ · sin θ₂

여기서 n은 각 매질의 굴절률입니다. 진공은 n = 1, 물은 약 1.33, 유리는 약 1.5, 다이아몬드는 약 2.4입니다. 파동이 밀도가 더 높은 매질(n이 큰 쪽)로 들어갈 때는 법선 쪽으로 꺾이고, 밀도가 더 낮은 매질(n이 작은 쪽)로 들어갈 때는 법선에서 멀어지는 방향으로 꺾입니다.

회절

파동이 장애물을 지나거나 좁은 틈을 통과할 때 퍼져 나가는 현상입니다. 파장에 비해 틈이 좁을수록 더 많이 퍼집니다. 파동은 모서리를 돌아 회절하기 때문에, 문틀 뒤쪽에 있는 사람이 보이지 않아도 그 목소리를 들을 수 있습니다.

간섭

두 파동이 겹치면 서로 더해집니다. 마루끼리 맞물리면(같은 위상) 결과 파동이 더 커지는데, 이를 보강 간섭이라고 합니다. 마루가 골과 맞물리면(반대 위상) 서로 상쇄되며, 이를 상쇄 간섭이라고 합니다. 고전적인 이중 슬릿 실험에서 밝은 띠와 어두운 띠가 교대로 나타나는 것은 바로 이 간섭 때문입니다.

공명

구동 진동수가 계의 고유 진동수와 일치하면 계의 진폭이 급격히 커집니다. 그네를 밀 때 타이밍이 중요한 이유가 이것이며, 드물지만 다리가 공명 진동수의 바람을 맞아 붕괴한 사례가 있는 것도 같은 원리 때문입니다.

도플러 효과

파원이나 관찰자가 움직이면 파동의 진동수가 이동합니다. 앰뷸런스 사이렌은 다가올 때 음이 높아지고(파면이 압축되어 진동수가 커짐), 지나쳐 갈 때 음이 낮아집니다(파면이 늘어나 진동수가 작아짐). 천문학에서 먼 은하가 보이는 적색편이도 동일한 물리로 설명됩니다.

음파

소리는 유체나 고체 속에서 진행하는 종파입니다. 20 °C 공기 중 음속은 약 343 m/s이고, 물 속에서는 훨씬 빠른 약 1500 m/s이며, 강철에서는 그보다도 빠른 약 5000 m/s입니다. 일반적으로 매질이 더 조밀하고 단단할수록 소리가 더 빠르게 전달됩니다.

사람의 귀는 대략 20 Hz에서 20 kHz까지의 진동수를 감지합니다(나이가 들수록 고음 한계가 낮아집니다). 20 Hz 이하는 초저주파(infrasound), 20 kHz 이상은 초음파(ultrasound)라고 부릅니다. 초음파는 태아 초음파 검사와 같은 의료 영상, 산업용 비파괴 검사, 그리고 동물 간 의사소통 등 다양한 실제 용도로 쓰입니다.

전자기파 스펙트럼

빛은 전자기파, 즉 진공 속을 c = 3.00 × 10⁸ m/s의 속도로 전파되는 진동하는 전기장과 자기장의 패턴입니다. 우리가 흔히 "가시광선"이라 부르는 영역은, 낮은 진동수의 전파부터 높은 진동수의 감마선까지 이어지는 거대한 스펙트럼 중 아주 얇은 한 조각에 불과합니다.

진동수가 낮은 쪽에서 높은 쪽으로(같은 말로: 파장이 긴 쪽에서 짧은 쪽으로) 나열하면 다음과 같습니다.

• 전파 — 파장이 미터에서 킬로미터. AM/FM 방송, 레이더, 휴대전화 등에 사용됩니다.
• 마이크로파 — 파장이 센티미터 단위. Wi-Fi, 전자레인지, 위성 통신에 쓰입니다.
• 적외선 — 파장이 마이크로미터. 열복사와 야간 투시에 사용됩니다.
• 가시광선 — 400 nm(보라)에서 700 nm(빨강).
• 자외선 — 수백 nm. 햇볕에 의한 화상의 원인이 됩니다.
• X선 — 나노미터 수준. 의료 영상에 사용됩니다.
• 감마선 — 피코미터 이하. 핵반응에서 방출됩니다.

진공 속에서는 모두 같은 속도 c로 전파됩니다. 진동수가 클수록 파장은 짧고, 광자 하나의 에너지는 커집니다(이는 다음 강의의 주제입니다).

기하 광학 — 거울과 렌즈

빛이 매끄러운 반사면에 닿으면 예측 가능하게 반사됩니다. 평면 거울은 물체와 같은 크기의 상을, 물체가 거울 앞에 놓인 거리만큼 거울 뒤쪽에 만듭니다. 이 상은 똑바로 서 있지만 좌우가 뒤집힙니다.

얇은 볼록 렌즈는 평행한 광선을 렌즈 뒤쪽으로 거리 f(초점 거리)에 있는 초점으로 모읍니다. 물체가 렌즈로부터 거리 d_o에 있고, 상이 거리 d_i에 맺힐 때 다음이 성립합니다.

1/d_o + 1/d_i = 1/f

배율은 상의 높이와 물체의 높이의 비입니다.

M = h_i / h_o = d_i / d_o

배율이 양수이면 정립상, 음수이면 도립상입니다. |M| > 1은 확대된 상이고, |M| < 1은 축소된 상입니다. 만약 d_i가 음수로 나오면 그 상은 허상이며(물체와 같은 쪽에 형성됨), 이는 물체가 초점 거리 f보다 렌즈에 더 가까이 있을 때 돋보기에서 볼 수 있는 상과 같은 경우입니다.

전반사와 임계각

빛이 밀도가 더 높은 매질에서 밀도가 낮은 매질로 충분히 큰 각도로 진행할 때는, 굴절이 일어나지 않고 빛 전체가 밀도가 큰 매질 안으로 되돌아 반사됩니다. 이 현상이 일어나는 임계각은 다음과 같습니다.

θ_c = sin⁻¹(n₂ / n₁)     (빛이 n₁에서 n₂로 진행할 때, 단 n₁ > n₂)

이 원리는 광섬유의 기반이 됩니다. 얇은 유리 섬유 안에서 빛이 전반사를 반복하며 진행함으로써, 빛이 밖으로 새어 나가지 않고 수 킬로미터에 걸쳐 정보를 전송할 수 있습니다.

학생들이 자주 실수하는 지점

• 파동의 속도와 진동수를 혼동합니다. 속도는 매질에 의해 결정되고 진동수는 파원이 정합니다. 사이렌이 공기에서 물로 이동해도 진동수(음높이)는 바뀌지 않습니다.
• 횡파와 종파가 서로 다른 진동 방향임을 놓칩니다. "입자가 위아래로 진동한다"는 횡파이고, "진행 방향을 따라 앞뒤로 진동한다"는 종파입니다.
• 반사 법칙에서 기준선을 잘못 잡습니다. 각도는 면 자체가 아니라 반드시 법선(면에 수직한 선)을 기준으로 측정합니다.
• 얇은 렌즈 방정식에서 부호를 틀립니다. 실제 물체이면 d_o를 양수, 실상이면 d_i를 양수, 수렴 렌즈이면 f를 양수로 잡습니다. 부호 규약을 반드시 지켜야 합니다.
• 모든 물질에서 빛이 속도 c로 진행한다고 가정합니다. 빛은 물질 속에서 느려집니다. c는 어디까지나 진공에서의 속도입니다.
• 도플러 효과가 파동의 속도를 바꾼다고 오해합니다. 도플러 효과는 진동수와 파장을 바꾸지만, 파동의 속도는 여전히 매질이 결정합니다.

풀이 예제 — 스넬의 법칙에 의한 굴절

공기(n = 1.00)에서 진행하던 빛이 법선과 40°를 이루면서 물(n = 1.33)의 표면에 부딪힙니다. 물 속에서의 굴절각을 구하십시오.

1단계 — 스넬의 법칙: n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

2단계 — 값을 대입합니다: (1.00) sin 40° = (1.33) sin θ₂. sin 40° ≈ 0.643.

3단계 — 풀이합니다: sin θ₂ = 0.643/1.33 ≈ 0.483.

4단계 — θ₂ ≈ sin⁻¹(0.483) ≈ 28.9°.

빛이 밀도가 더 높은 매질(n_물 > n_공기)로 들어갔기 때문에 광선이 법선 쪽으로(40°에서 약 29°로) 꺾인다는 점을 확인할 수 있습니다. 이는 위에서 설명한 규칙과 일치합니다.

스스로 확인하기

1. 횡파와 종파의 실제 예시를 각각 하나씩 들어 보십시오.
2. 파동의 기본 방정식 v = λf를 쓰고, 각 변수를 설명해 보십시오.
3. 이 강의에서 다룬 여섯 가지 파동 현상을 이름과 함께 간단히 설명해 보십시오.
4. 스넬의 법칙을 쓰고, 이를 이용해 빛이 밀도가 더 높은 매질로 들어갈 때 어느 방향으로 꺾이는지 예측해 보십시오.
5. 실상과 허상의 차이는 무엇입니까?
6. 어떤 파동의 진동수가 500 Hz이고 파장이 0.68 m입니다. 이 파동의 속도는 얼마입니까?

(6번 정답: v = λf = 0.68 × 500 = 340 m/s. 공기 중 음속과 매우 가까운 값입니다.)

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파동과 광학은 물리 학기 B CBE에서 매우 비중 있게 다루어지며, 전체 문제의 거의 4분의 1을 차지합니다. 파동, 소리, 광학으로 필터링한 연습 문제 은행을 통해 파동의 성질, 간섭, 굴절, 거울, 렌즈를 아우르는 문제로 학습해 보십시오. 모든 문제에는 단계별 풀이가 함께 제공됩니다.

본 연습 콘텐츠는 Texas Essential Knowledge and Skills(TEKS) §112.39(c)(7)에 독립적으로 정렬되어 있습니다. TTU K-12, UT High School, UT-Austin, Texas Education Agency 또는 Credit by Examination 시행 기관과는 어떠한 제휴 관계도 없습니다. Texas CBE™는 시험을 시행하거나 학점을 부여하지 않습니다.